郭崇华：天使投资的数学分析

Martin

“天使赚钱是低概率”[1]这句话只说对了一半，但其误导则是百分之百的。这句话对在哪里？历史上，确实只有很少的天使赚到钱了；那这句话又错在哪里呢？错在得出的结论：我们可以说天使赚钱是“少数人”，但不能说“低概率”，原因何在？这里面涉及对概率论中两个重要的基本概念：大数定律和独立性假设没有理解清楚。本文希望从概率数学的角度，澄清如下几个问题：

1）  天使投资人是理性的吗？

2）  为什么根据历史数据得出“天使赚钱是低概率”的结论是错误的？

3）  天使投资人能够避免盲投吗？

一、天使投资人是理性的吗？

要回答这个问题，不能不提到投资领域中一个著名的Kelly准则[2]，该准则回答的基本问题是：面对一项可能成功可能失败的投资，我的最优投资额是多少？美国数学家J.L.Kelly根据信息论创始人Claude Shannon那篇著名的论文[3]在1956年发表了《对信息率的新阐述》一文，提出了后来投资界一直使用的著名公式：

x%=2p-1

这个公式的含义是：如果你面对一个输赢不定的赌局，你应押上的资金的百分比（x）等于2倍的获胜概率（p）减去1。例如，如果你获得一项投资成功的概率是60%，你就应该押上你可投资金的20%来赢取你可能得到的最大的财富增长。如果你知道你获胜的概率几乎100%，根据Kelly准则，你应该押上你资金的几乎全部；另一方面，任何成功概率小于或等于50%的项目，理性的投资人都应该从这项投资走开。

关于Kelly准则的一个最著名的花絮是：50年代末MIT的一个年轻数学讲师Edward.Thorp一个人跑到Las Vegas，用根据Kelly准则制定的概率下注策略赌21点大胜而归，乃至后来赌场只要知道是他来，就会毫不客气下逐客令。关于后来发生的故事，可能大家都知道了，Thorp教授后来根据自己的经历写了两本畅销书，一本是讨论21点制胜策略的《打败庄家》[4]以及论述股市投资的《打败市场》。他的传奇经历也被囊括在畅销书《宽客人生》中（中文版由万卷出版社出版），在这本书中，Thorp教授被尊称为量化金融（宽客）的“教父”。另有一部好莱坞根据他的经历改编的电影名叫《决胜21点》。

那么，历史上的天使投资人是理性的吗？这里面我们观察到十分矛盾的行为：一方面天使投资人奉为圭臬的是“天使赚钱是低概率”（远低于50%），另一方面他们确实又投资了所谓“低概率”的项目，（根据Kelly准则）似乎是非理性的，但又无法解释越来越多的退休企业家和职业经理人对天使投资趋之若鹜的现实，很难想象这是一批“非理性”的天使投资人。那么导致这种矛盾现象的原因在哪里呢？。

二、为什么根据历史数据得出“天使赚钱是低概率”的结论是错误的？

笔者认为，关于天使投资最大的迷思就产生在这里。人们根据考察历史数据，发现80%以上天使投资项目都失败了，成功的不到20%，于是不假思索地认定“天使赚钱是低概率”，从而犯了一个概念上的错误。设想掷硬币试验（假设硬币是均匀的），如果抛掷10次共出现了8次反面、2次正面，于是就下结论说硬币出现正面是小概率事件，而事实上我们知道在大量抛掷试验条件下，正面出现的概率最终将接近50%，这就是概率论中著名的大数定律；而且，由于每次抛掷都是独立的，因此，前面出现了8次反面，并不影响下一次抛掷出现正反面的概率依然各占50%的情况[5]，这就是概率论中随机试验的独立性假设。由于初创项目大部分出于颠覆和创新现有的产品和服务的小微企业，未来前景极不确定，每一项投资都可以视为独一无二（天使投资人最看重初创的独特性）的，因此其成功概率的分布可以视为抛掷硬币的试验。而出现上述概念错误的原因就在于忽视了大数定律以及随机试验的独立性假设。

笔者认为，尽管理性的天使投资人不太可能去投他们认为赚钱概率低于20%的项目（正如理性的人不会买彩票一样），但是“天使赚钱是低概率”这个命题会产生误导，直接影响是创造出偶像崇拜，相信偶像们具有超凡的能力化腐朽（所谓“低概率”事件）为神奇（成功必然发生）。“超级天使”这样的名称更是赋予偶像们神秘的光环，让众多普通天使和准天使们膜顶崇拜，相信偶像们能够先知先觉，从而彻底放弃了对事物本质的独立思考，殊不知投资初创项目犹如抛掷硬币试验，试验结果对人人都是相同的，运气至少和能力的作用一样重要，需要的是敢于尝试的勇气。

三、天使投资人能够避免盲投吗？

我们已经知道理性的投资人根据Kelly准则决定自己的最优投资额，但我们如何知道某个初创企业的成功概率呢？由于初创企业的创新性和独特性，无法根据以往的历史数据计算概率（概率论中频率派的主要方法）。要回答这个问题，就不能不提到统计物理学家E.T.Jaynes在1957年发现的最大熵原理[6]。这个原理简而言之：即便你对感兴趣的事情一无所知（即熵达到最大，熵可视为对无知程度的度量）、频率派无从下手的时候，主观概率方法仍然适用。其重大意义在于，当一无所知时：（1）没有被明确排除的任何情况都将被视为存在发生的可能；（2）你必须简单地假设所有的可能性出现的概率是相同的——直到你有理由去做不同的假设。对初创而言，只有成功或者失败两种可能性，因此如果你对某初创一无所知，你只需简单假设成败的（先验）概率各为50%。请注意，根据Kelly准则，此时你不应决定投资（根据Kelly公式，你应押上的资金为零）。

听起来的确神奇：即使你对面前的事物一无所知，你仍然能够做出预测，从而迈出你的第一步。当然，你的预测很可能是错误的。但是，这仍然是你不知从何做起时，你所能做的最佳预测——它是你决定是否寻求新的信息以便改进主观概率的起点。

诚然，由于种种原因（行业经验、人脉圈子等等），你可能对某初创企业不是一无所知、而是拥有一些信息，这些信息足以使你判断出该企业的成功概率是大于、小于还是等于50%，这可以直接导致你简单遵循Kelly投资准则，从而避免了盲投；所谓盲投是指两种情况下的错误投资：（1）对所投项目一无所知情况下不做尽职调查决定投资（违反了最大熵原理）；（2）当明知成功概率小于或等于50%时还决定投资，或知道成功概率大于50%但超额投资（违反了Kelly准则）。

由此推断，天使投资要避免盲投，本质上可以有两种方式：（1）根据已知情况做出主观概率的推断，然后应用Kelly准则决定投资与否与金额多少；（2）简单假设成败几率各占50%，积极寻找新的信息和证据改进主观概率的判断，然后应用Kelly准则决定投资与否与金额多少。二者的差异可以打一个比方来解释：前者假设为个人在目前固定的信念下行动（例如根据个人对目前下雨概率的估计来决定是否带雨伞）；后者假设力求达到主观概率的改进——在决定带雨伞之前出门查看气候和风向，从而改变你对是否下雨的信念判断，最终影响你是否带伞的决定[7]。

这个比喻对天使投资具有直接的意义：如果不是对初创一无所知，天使投资人按照主观概率判断是大于还是小于等于50%、根据Kelly准则决定是否投资以及投资多少；如果承认对初创一无所知，则天使投资人应努力寻找相关的信息来减少自己的无知（例如参加Due Deligence，实地考察等等），从而改进自己关于初创企业成功概率的主观判断。由于天下没有免费的午餐，寻找信息需要消耗天使投资人的“能量”[8]，这就是为什么贴身观察初创企业（Due Deligence的一种创新方法）的孵化器，例如北京的创新工场和硅谷的Y Combinator等等拥有关于初创的信息优势，但也需要付出很大的筛选和辅导成本的原因，根本目的就是降低对初创无知的程度，通过三个月孵化期得出一个go/no go决定所需的后验概率。

四、结论

由于大部分天使投资人分为两种：一种是创业成功、赚了点钱的、有创业经验的；另一种是职业经理人，在大公司里成长学到很多经验，可以把他积累的经验拿出来分享[1]。他们投资初创的理由各不相同，但职业决定了他们大多数是理性的天使投资人。根据历史数据推断“天使赚钱是低概率”是概念错误，忽略了概率论中的大数定律和随机试验的独立性假设，容易导致人们神化“超级天使”的成功而忽视运气的存在。天使投资人避免盲投应遵循最大熵原理和Kelly准则，即在实践中尽量避免先入为主、不懂装懂，导致过高或过低估计初创的成功概率而过早使用Kelly准则进行投资与否的决策，从而失去后期进一步挖掘新信息改进主观概率的动力和机会，产生的负面影响会导致两种可能性都增加了：（1）不该投的投了；（2）该投的而未投。

参考资料：

[1] 李开复：“天使”赚钱是低概率事件，来源:经济观察报
[2] 《财富公式》William Poundstone，2006
[3] “通信的数学理论” Claude Shannon，1948
[4]《打败庄家》，Edward Oakley Thorp，1966
[5]《经济决策的概率模型》Roger B Myerson，2005
[6]《概率论沉思录》E.T.Jaynes，p290，2003
[7]《不确定性与信息分析》Jack Hirshleifer and John G.Riley，1992
[8]《觅食理论》David W.Stephens，John R.Crebs，1987

原文地址：http://blog.sina.com.cn/s/blog_7b56dde00101d97f.html